Bernoulli dağılımı

Bernoulli dağılımı, olasılık teorisinde en basit ve en temel dağılımlardan biridir. Bu dağılım, yalnızca iki olası sonuç içeren bir rasgele deneyi (örneğin, yazı-tura atma, bir sınavı geçme veya geçmeme) modellemek için kullanılır. Bu sonuçlar genellikle "başarı" ve "başarısızlık" olarak adlandırılır ve aşağıdaki şekilde tanımlanır:

1. Başarı (1): Olayın gerçekleştiği durum.
2. Başarısızlık (0): Olayın gerçekleşmediği durum.

Bernoulli dağılımının temel özellikleri şunlardır:

- Başarı olasılığı (p): Bir denemede başarı elde etme olasılığı. Bu değer 0 ile 1 arasında bir sayıdır.
- Başarısızlık olasılığı (1 - p): Bir denemede başarısızlık elde etme olasılığı. Bu da başarı olasılığının tamamlayıcısıdır.

Bernoulli Dağılımının Özellikleri

- Olasılık Kütle Fonksiyonu (PMF): Bir Bernoulli dağılımında, \(X\) rasgele değişkeni 1 veya 0 değerlerini alabilir. Bu durumda olasılık kütle fonksiyonu şu şekildedir:
- \(P(X = 1) = p\)
- \(P(X = 0) = 1 - p\)

- Beklenen Değer (Ortalama): Bir Bernoulli dağılımının beklenen değeri (veya ortalaması) \(p\)'dir.
- E(X) = p

- Varyans: Bernoulli dağılımının varyansı \(p(1 - p)\) olarak hesaplanır.
- Var(X) = p(1 - p)

Örnekler

1. Yazı-Tura Atma: Eğer yazı gelme olasılığı \(p\) ve tura gelme olasılığı \(1 - p\) ise, yazı-tura atma işlemi bir Bernoulli dağılımı olarak modellenebilir.
2. Sınavı Geçme: Bir öğrencinin sınavı geçme olasılığı \(p\) ve kalma olasılığı \(1 - p\) olduğunda, bu durum da Bernoulli dağılımı ile temsil edilebilir.

Uygulama Alanları

Bernoulli dağılımı, birçok gerçek dünya durumunda temel bir yapı taşıdır. Daha karmaşık dağılımlar ve süreçler genellikle Bernoulli dağılımlarının bir kombinasyonu olarak modellenir. Örneğin, Binom dağılımı, n bağımsız Bernoulli denemelerinin toplamıdır.

Bernoulli dağılımı, olasılık teorisi ve istatistikte birçok temel kavramın anlaşılmasında ve uygulanmasında kritik bir rol oynar. Bu dağılım, iki olasılıklı olayların modellenmesi ve analizi için basit ama güçlü bir araçtır.